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    分形理论在岩土中的应用

    地下流体渗流情况是岩土工程中的热门课题,渗流相关的物性参数(例如孔隙度和渗透率)通常会在现场实测,但由于自然界中地质体的非均质性,物性参数会在一定范围内波动,实测所得参数并不能反映整个地质体的真实情况;本文介绍的分形方法以地勘资料为原始数据,采用随机分形方法对数据进行处理,以此构建非均质地质体模型;图1所示即一张基于分形理论得到区域孔隙度等高图。

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    图1:基于分形理论得到的孔隙度等高图

    分形作为描述自然界极不规则和复杂现象的数学工具,具有标度不变性,局部与其整体相似性的特点,可通过迭代计算来描述精细的小尺度结构。利用非均质地质体物性参数具有的随机抖动和自相似的特点,通过已知的勘察数据利用这些分形特征物性参数进行处理。

    其中随机中点位移方法是一种复杂度较低,能快速逼近分形结构方法,其主要思想是对二维网格结点上的参数值进行内插,在每一个细分网格的参数值平均值上再增加一个补偿项,通过不断迭代构造出精细化的结构。

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    图2 :Diamond-Square 算法实现原理

    图2显示了以随机中点位移法中的Diamond-square法,它包括Diamond步和Square步。

    Diamond步:在正方形的中点生成一个随机值,它是4个顶点的平均值再加上一个随机量;这样就形成一个棱锥。

    Square步:取相邻的四点棱锥,在棱锥的中心生成一个随机值。顶点平均值加上一个Diamond步相似的随机量,得到每条边中点值。

    在图2中,新值显示为◆点,已经存在的点显示为●点。图2(d)和图2(e)分别为第二次执行Diamond和Square步的示意图。

    理解了分形理论的思想之后,软件就是实现思想的一个工具了,MATLAB作为高校和科研单位经常使用的数值工具,具有强大的编程能力,成为了编程的优先选择,同时COMSOL自带的MATLAB接口能够完美与MATLAB联用,这样对于编程者而言,只需要将源程序打包作为一个输出函数,供COMSOL调用,这样即可实现COMSOL和MATLAB的对接。图3显示的即为通过COMSOL with MATLAB获得的随机分形孔隙度模型。

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    图3:采用分形理论获得孔隙度模型

    在岩土工程中,对数据的处理是一个棘手的问题,分形理论可以打破整体与部分、有限与无限、连续与间断之间的隔膜,使数据的处理方式由线性阶段进展到了非线性阶段,必将有更加广泛的应用。